Por si alguien aún no lo ha notado, me encantan los fractales.
Llevo unos cuantos años (¡dos décadas!) perfeccionando mi programa para pintar el conjunto de Mandelbrot, pero nunca estoy totalmente satisfecho. Aún hay muchos detalles que pulir y siempre me falta el mismo ingrediente: ¡tiempo!
Lo que sí puedo compartir son algunas muestras de las imágenes que puede generar. Ahí va la primera:
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¿Que qué es el conjunto de Mandelbrot?
Hay miles de páginas web y libros que tratan de explicarlo, pero yo voy a aprovechar para hablar de mi libro, que contiene, entre otras aventuras, mi mejor intento de explicación.
Para los matemáticos:
El conjunto de Mandelbrot es el conjunto de todos los puntos del plano complejo que, usados como constante C en la serie Zn+1=Zn2+C , donde Z0=0 , no hacen que la longitud (el módulo) de Z tienda a infinito. La imagen anterior representa una pequeña región del plano complejo. Los puntos pintados en azul oscuro (a la izquierda) pertenecen casi todos al conjunto de Mandelbrot. Los puntos pintados en otros colores no pertenecen al conjunto de Mandelbrot. Para éstos últimos, el color se ha elegido en función de la n a partir de la cuál la longitud de Zn es mayor que 2. Cuando esto ocurre, sabemos que la serie tenderá a infinito, así que dejamos de calcularla. Cuando esto no ocurre, como no podemos calcular indefinidamente, debemos fijar un máximo para el valor de n. A partir de ahí, si la longitud de Zn no ha superado el valor 2, pintamos el pixel de azul oscuro y pasamos a otro pixel.
En realidad, si yo hubiese leído el párrafo anterior cuando aún no había oído hablar de los fractales, me habría quedado igual que antes de leerlo.
Para el resto de los mortales:
El conjunto de Mandelbrot es un objeto matemático como lo son el círculo, el cuadrado, o el dodecaedro. Nada más, y nada menos. Pertenece al mundo de las ideas de Platón. Como el resto de las cosas matemáticas, no necesita de un universo material para «ser». Simplemente «es». Es el mundo material el que parece funcionar conforme a las leyes matemáticas.
Quizás esta última afirmación os parece ridícula. Nuestra cultura está plagada de memes que ridiculizan al científico que aspira a calcularlo todo, a explicarlo todo, a predecir el futuro. No tengo claro si realmente los científicos de hace un siglo tenían esas ínfulas, o si hay un interés casi vengativo por desacreditar a la ciencia. La fe exagerada en la ciencia puede ser ridícula vista desde fuera, efectivamente. Vista desde fuera, cualquier fe exagerada puede parecer ridícula. Especialmente desde otra fe.
El caso es que el error estaba en pensar que, si el universo obedece leyes matemáticas, podremos explicarlo todo y predecir el futuro. Nada más lejos de la realidad. De hecho, nada más lejos de las matemáticas. Hay unas cuantas verdades matemáticas con una importancia trascendental enorme, que se descubrieron en el siglo pasado, pero que sólo han calado en nuestra cultura como meras anécdotas.
Una de estas verdades trascendentales es la teoría del caos. Quizás os suene más el «efecto mariposa», pero eso es sólo la anécdota, el ejemplo impactante utilizado para tratar de explicar algo más grande: que para predecir el futuro tendríamos que hacer una cantidad abrumadora de cálculos, y antes necesitaríamos conocer el presente a un nivel de detalle abrumador. Tan abrumador, que la manera más eficiente de predecir el futuro con exactitud es esperar a que ocurra. Es decir, que cualquier máquina que lo calculara sería más grande y requeriría más tiempo que el mundo material que intentamos predecir.
En realidad no es una idea nueva en lo que respecta al mundo material. Es lo que la humanidad ha experimentado desde que anda por la Tierra. Es el muro contra el que se topan los que pretenden calcular el futuro con exactitud. La novedad está en que eso también ocurre en el mundo de las ideas de Platón. La impredecibilidad no se debe a algo del mundo material. Tampoco se debe a ningún otro mundo metafísico e insondable que nos queramos inventar. La impredecibilidad es inherente al mundo ideal de las matemáticas.
Suficiente por ahora. Ahí va otra imagen:
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En esta segunda imagen hay muy poca superficie que pertenezca realmente al conjunto. Sólo son un puñado de píxels blancos aquí y allá. En la versión reducida ni se ven. No obstante, el conjunto de Mandelbrot es conexo. Es decir, que esas pequeñas «islas» de superficie perteneciente al conjunto están conectadas entre sí por finísimos filamentos que también pertenecen al conjunto. Esos filamentos están tan retorcidos que el contorno del conjunto de Mandelbrot tiene una longitud infinita. Es un hecho muy curioso porque el área del conjunto, sin embargo, es finita.
En esta imagen casi vemos los filamentos como relámpagos verde pálido. En realidad no vemos los filamentos en sí, que en muchos puntos son infinitamente delgados. Lo que vemos resplandecer son los puntos cercanos a ellos. Con esos valores de C, la serie tarda más en salirse del círculo de radio 2.
Volviendo al tema de la impredecibilidad, voy a poner un ejemplo:
Sabemos de muchos puntos que pertenecen al conjunto de Mandelbrot. Lo sabemos con total certeza porque con esos valores de C, la secuencia se repite. El ejemplo más sencillo es C=0. Con ese valor de C, todos los valores de Z son cero. Otro ejemplo es C=-1, con el que la serie oscila indefinidamente entre -1 y 0. Y otro ejemplo más es C=-2, con el que la serie se estanca enseguida en el valor Z=2.
También sabemos que, para todo C cuyo módulo sea mayor que 2, la serie tiende a infinito. Por ejemplo, para C=3, los valores de Z son: 0, 3, 12, 147, 21612, 467078547, 218162369067631000… No voy a entrar en los detalles, pero se puede demostrar y es razonablemente intuitivo.
Sin embargo, para muchos de los infinitos puntos que hay dentro del círculo de radio 2, no disponemos de un método general que nos permita predecir en todos los casos si la serie tenderá a infinito o no. La única manera de averiguarlo es calcular la serie, y eso no siempre está a nuestro alcance. En muchos casos, según avanza el cálculo, los números tienen cada vez más dígitos.
Si algún valor de Z se sale del círculo de radio 2, ya está: ese C no pertenece al conjunto. Por otro lado, si algún valor de Z es exactamente igual que otro anterior, ya está: la serie se repite y ese valor de C sí pertenece al conjunto. Pero ¿qué pasa si seguimos calculando y no ocurre ninguna de las dos cosas? Tendremos que parar en algún momento. ¡No podemos calcular indefinidamente!
La teoría del caos dice que hay sistemas matemáticos en los que se da este comportamiento. Se gobiernan por leyes matemáticas perfectamente definidas, pero la más mínima variación en las condiciones iniciales puede afectar de forma decisiva a cómo se comportan mucho después. Y además no hay ningún atajo para predecir esos cambios de comportamiento. La única manera es calcularlo paso a paso con absoluta precisión. Tanta precisión que escapa a nuestras posibilidades porque llega a ser infinitamente mayor que el sistema que pretendíamos predecir. Traducido a un universo material regido por esas leyes: la única manera de predecir el futuro con absoluta exactitud es esperar a que ocurra.
Concluyendo…
Todo esto pone un límite a lo que podemos calcular y predecir, pero no impide que el universo sea un montón de materia/energía puesta a rodar, obedeciendo con precisión absoluta unas leyes matemáticas y físicas predefinidas, sin ninguna intervención externa posterior al Big Bang.
La cuestión es: ¿pueden unas leyes matemáticas y físicas hacer que surja todo lo que vemos a nuestro alrededor?
En este sentido, el conjunto de Mandelbrot y otros fractales son un hallazgo sorprendente. Son objetos puramente matemáticos, como el círculo o el dodecaedro, y sin embargo sus formas nos recuerdan a tejidos vivos y a paisajes.
Todo esto y más está explicado magníficamente en un precioso reportaje de la BBC llamado «The Secret Life of Chaos». Se puede encontrar fácilmente en Youtube, también con subtítulos en español.
Ahí va la última imagen. De las tres, ésta es la que más me gusta:
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Una última aclaración: estas imágenes son en parte una creación mía, pero esa parte es muy pequeña. El único acto creativo es la elección de los colores. Las formas están ahí. Simplemente «son», como la redondez de un círculo «es» sin necesidad de que yo lo dibuje o siquiera lo imagine.
En la generación de estas imágenes hay otra parte que podría parecer un acto creativo pero que en realidad es sólo de descubrimiento: la elección de qué parte del conjunto de Mandelbrot ampliar y calcular. El conjunto de Mandelbrot está ahí con su infinita complejidad, con sus infinitos filamentos y remolinos. Simplemente «es», sin necesidad de que yo lo calcule.